Atraktorius

Atraktorius yra aibė padėčių (taškų) kuriais juda dinaminė sistema praėjus pakankamai daug laiko. Tai yra, taškai, atsidūrę arti atraktoriaus ten ir išliks, net jei jų judėjimą šiek tiek sutrikdysime. Geometrine prasme atraktorius gali būti taškas, kreivė, daugdara arba taškų/kreivių aibė su fraktaline struktūra - keistasis atraktorius. Trajektorijos atraktoriaus srityje gali būti gali būti tiek periodinės, pasikartojančios, tiek ir chaotinės. Atraktoriai vaidina svarbų vaidmenį chaoso teorijoje.

Įvadas

Dinaminės sistemos paprastai aprašomos diferencialinėmis lygtimis. Turėdami jas ir norėdami sužinoti jų elgesį po ilgesnio laikotarpio, turime kokiu nors būdu suintegruoti jas.

Realiame pasaulyje dinaminės sistemos paprastai būna disipatyvinės (dėl trinties, šiluminės energijos, medžiagos nuostolių). Dėl disipacijos sistema "pamiršta" pradines (išeities) sąlygas ir lengviau patenka į atraktoriaus būsenas.

Kita svarbi sąvoka yra ribinė aibė – yra izoliuota uždara trajektorija kuri laikui bėgant nekinta. Tai reiškia, kad gretimos trajektorijos nėra izoliuotos, o tik asimptotiškai artėja prie ribinio ciklo. Visi atraktoriai yra ribinės aibės (jos dar vadinamos stabiliosiomis arba pritraukiančiomis), tačiau ne visos ribinės aibės yra atraktoriai: gali būti tokios ribinės aibės, kad švelniai sutrikdžius judėjimą, judantis taškas ima tolti nuo jos (tokia aibė vadinamas nestabiliąja). Ribinės aibės gali būti fiksuoti taškai - rimties taškai, uždaros kreivės - ribiniai ciklai.

Kaip pavyzdys gali būti svyruoklė (pvz., tiesiog pakabintas strypas) su disipacija. Tokia sistema turi du rimties taškus. Vienas atitinka svyruoklės padėtį apačioje, kitas - viršuje. Apatinis taškas yra ribinė aibė ir atraktorius, nes trajektorijos konverguoja prie jo. Viršutinis taškas nėra ribinė aibė. Jei nebūtų disipacijos, apatinė padėtis nebūtų atraktorius.

Atraktorių tipai

Lorenco keistasis atraktorius ρ=28, σ = 10, β = 8/3

Iki 1960 buvo manoma, kad atraktoriai yra fazinės erdvės poaibiai - taškai, linijos, paviršiai arba tūriai - tai yra sveikos dimensijos atraktoriai. Tačiau vėliau suprasta, kad gali būti vadinamieji keistieji atraktoriai su trupmenine dimensija, o judėjimas jų aplinkoje yra chaotinio pobūdžio. Plačiausiai paplitęs keistojo atraktoriaus pavyzdys yra Lorenco atraktorius, 1963 metais jį atrado Edvardas Lorencas, amerikiečių matematikas ir meteorologas. Lorencas jį gavo iš kiek supaprastintų konvekciją aprašančių lygčių. Bedimensinėje formoje jos užrašomos:

${\frac {dx}{dt}}=\sigma (y-x)$

${\frac {dy}{dt}}=x(\rho -z)-y$

${\frac {dz}{dt}}=xy-\beta z$

Čia x yra proporcingas skysčio judėjimo greičiui konvekciniame žiede, y ir z aprašo temperatūrų pasiskirstymą žiede. $\sigma$ yra vadinamasis Prandtlio skaičius, $\rho$ - Reilio skaičius, $\beta$ yra susijęs su sistemos geometrinėmis savybėmis.

Nuorodos

• mokslasplius.lt rizikos - fizikos atraktorių pratimai
• Lietuviški konspektai apie netiesines lygtis ir atraktorius
• A gallery of polynomial strange attractors
• Animated Pickover Strange Attractors
• Chaoscope, a 3D Strange Attractor rendering freeware
• http://www.research.ibm.com/journal/rd/471/martens.html
• http://mathworld.wolfram.com/Attractor.html
• http://www.bentamari.com/attractors.html
• http://www.thecleverest.com/content/attractors.html

Vikiteka