Procentai

Procento ženklas

Įžanginės pastabos

Vertinant procentus, kaip mokslinio ar praktinio darbo įrankį, esama įvairių nuomonių. Vieniem atrodo, kad procentai yra tik paprasčiausias lengvesniam susikalbėjimui ar statistiniam iliustravimui skirtas įrankis, kiti gi mano, kad tai esminis instrumentas, sudarantis savarankiškos teorijos pagrindą ir nulemiantis svarbius teorinės ir praktinės veiklos rezultatus.

Ekonomistas Keynes J. M. 1936 sukūrė bendrąją palūkanų teoriją, tačiau ir ji neleido atsakyti į daugelį iškylančių praktinių klausimų. Vėliau paaiškėjo, kad ši teorija rėmėsi pasenusia ekonominio augimo paradigma.Dėl to stiprėja įsitikinimas, kad paplitusi (šiuolaikinė) procentų (palūkanų) modelių sistema yra ydinga ir nulemia daugelį praktinių nesėkmių. Tai atsitinka todėl, kadnaudojami modeliai nevertina esminio augimo parametro – populiacijos paplitimo erdvės ribotumo, t.y. augimo erdvės prisotinimo.

Svarbiausia šio teksto žinia – egzistuoja dar daug kam mažai žinomi bendrieji procentai, nulemiantys labai svarbius, dažnai paradoksalius, procesus, vykstančius gamtoje ir visuomenėje. Šių procentų skiriamasis bruožas – prisotinimo parametro egzistavimas procentų modelyje..

Specifiniai terminai

Nagrinėjant procentus susiduriame su kai kuriais specifiniais terminais. Kai kada įprasti terminai turi specifinę paskirtį. Keletą toliau tekste naudojamų terminų trumpai aptarkime.

Būsena – medžiagos ar reiškinio stabilaus funkcionavimo būdas, išlaikantis tam tikrą laiko intervalą pastovią sandarą (sudėtį). Medžiagos ar reiškinio būklė, jo struktūra ar sudėtis.

Dalis – visumos kiekis, naudojamas procentų skaičiavimuose, sudarant proporcijas. Svarbu tai, kad , priklausomai nuo to, ar procentų pagalba skaičiuojamas augimas, ar mažėjimas, dalis gali būti ne tik mažesnė už visumą, bet ir didesnė už ją.

Kapitalo perteklius – veiksnys, formuojantis rinkos prisotinimą. Kapitalo perteklius susiformuoja, kai investuojamas kapitalas tampa didesnis už kapitalo dydį, reikalingą pagaminti maksimaliam realizuoti skirtam prekių ar paslaugų kiekiui. Kitaip tariant kapitalo perteklius susiformuoja, kaiinvestuojamas kapitalas ryškiai viršija „parduodamą vertę“.

Logistinis augimas yra tokia populiacijos raida, kai procesas vyksta ribotų išteklių sąlygomis. Riboti ištekliai reiškia, kad egzistuoja augimo riba, kurią apibrėžia konkreti augimo aplinka. Populiacijų logistinio augimo kreivės grafikas yra horizontaliai ištemptos raidės „S“ formos. Logistinis populiacijos augimas yra gamtoje dažniausiai sutinkamas augimo tipas.

Matavimo vienetas – rodiklis, pagal kurį apskaičiuojami kokio nors objekto dydis, matmenys ar reikšmingumas. Bematis dydis –tai fizinis dydis, kurio dimensijoje visi daugikliai,atitinkantys duotos sistemos pagrindinius fizinius dydžius, turi lygų nuliui laipsnio rodiklį. Bemačio dydžio matavimo vienetas yra skaičius.

Daliniai augimo (Malthuso) procentai –paprastieji ir sudėtiniai procentai. Kitaip tariant tai atitinkamai tiesiniu ar eksponentiniu augimu paremti modeliai.

Palūkanos – suma mokama už naudojimąsi piniginėmis lėšomis (kapitalu ar kitais aktyvais). Ji taip pat vadinama procentiniais pinigais arba tiesiog procentais. Be to, finansinių populiacijų atveju, procentais arba palūkanomis dažnai vadinama ir pati procentų skaičiavimo formulė, t.y. augimo modelis.

Perėjimas – staigus populiacijos pokytis, apibudinantis trūkčiojantį populiacijos raidos procesą, kai skirtingos populiacijos reikšmės įgyjamos skirtingu laiku. Laikas tarp dviejų gretimų perėjimų gali būti ir santykinai ilgas ir labai trumpas (artėti į nulį).

Periodas – laiko intervalas tarp dviejų gretimų perėjimų, kai perėjimai pasikartoja vienodais laiko tarpais (trumpiausias laikas tarp pasikartojimų).

Populiacija – visi tam tikros objektų aibės nariai, turintys tyrėją dominančių savybių. Tai potencialūs stebėjimo ir vertinimo objektai.

Porinis pokytis – populiacijos pasikeitimas, kai nuosekliai atliekamas populiacijos didinimas ir mažinimas (arba atvirkščiai) tuo pačiu procentu.

Potencialioji populiacija – galima didžiausia augančios populiacijos reikšmė.

Procentas (bematis procentas) – skaičius arba santykis, išreikštas kaip šimtoji kurios nors visumos dalis.Tai bematis (nedimensinis) dydis (grynasis skaičius). Be to šie procentai yra vieni populiariausių statistinių duomenų pateikimo būdų. Dėl to jie kartais vadinami bemačiu statistiniu procentu.

Procentų norma – tai procentinis dydis, parodantis kokia populiacijos dalispasikeitė(padidėjoar sumažėjo) per nustatytą laikotarpį lyginant ją supradine populiacija (visuma).

Rinkos prisotinimas – rinkodaroje prisotinimu yra suprantama situacija, kai prekių ar paslaugų pasiūla viršija paklausą. Tuo tarpu bendrųjų procentų požiūriu prisotinimas yra tuomet, kai paklausą viršija ne patys produktai ar paslaugos, o investuojamas kapitalas tampa didesnis už kapitalo dydį, reikalingą pagaminti maksimaliam tokių prekių ar paslaugų kiekiui. Prisotinimas prasideda tuomet, kai susiformuoja deficitinė rinka.

Visuma (etalonas) – bazinis dydis, atliekant konkrečius procentų skaičiavimus, laikomas 100%, vienetu arba etalonu.

Procentų modelių klasifikavimas

Procentai yra klasifikuojami pagal įvairius požymius. Procentųklasifikavimui geriausiai tinka matematiniai modeliai. Toliau pateikiamas trijų pakopų procentų klasifikavimas pagal bendrumo laipsnį, pereinantnuo bendresnio prie labiau atskiro atvejo.

Klasifikavimas pagal bendrųjų ir dalinių procentų modelius (1 pav.) išsiskiria tuo, kad turi labai paprastą ir aiškią struktūrą: esami bendrieji augimo procentų modeliai nuosekliai prastinami, kol gaunami patys paprasčiausi atvejai – bemačiai procentai. Prastinant pirmiausiai yra atsisakoma augimo apribojimo, o po to atsisakoma ir paties augimo – laikas modelyje imamas pastoviu ir lygus vienetui.

Šis klasifikavimas taip pat leidžia analizuoti procentų modelius laikantis istoriškai natūraliai susiklosčiusios procentų raidos, tik šiuo atveju pradedama nuo pačių paprasčiausių ir toliau gilinamasi vis į sudėtingesnius. Paprasčiausių procentų, jie sąlyginai vadinami bemačiais (statistiniais), nagrinėjimas sudaro galimybę aptarti žemiausio lygmens procentų įvairovę ir parodyti jų gausą. Jų pagrindinis skiriamasis bruožas – matavimo vieneto nebuvimas (procentai yrabemačiai, nedimensiniai dydžiai). Tai leidžia nuosekliai pereiti prie sudėtingesnių atvejų, kurie įgyja laiko matavimą (kai kurie autoriai tokius atvejus vadina Malthuso vardu. Maltuso procentų modelių gilesnis pažinimas sudaro sąlygas bendrųjų procentų teorijos susiformavimui. Bendrieji procentai, aptariami šio teksto pabaigoje, vertina sistemos prisotinimą ir, savo ruožtu, atskleidžia naujus paradoksalius reiškinius, ypač svarbius ekonomikos mokslui ir praktikai.

1 pav. Procentų modeliai ir jų klasifikavimas pagal bendrumo laipsnį

Čia $K$ – populiacijos dydis praėjus $t$ periodų; dalis (kai kada vietoj $K$ rašoma K(t)), Kp – potencialioji (maksimaliai galima) populiacijos reikšmė, K0 – pradinis (bazinis) populiacijos dydis; visuma, t – trukmė (periodų skaičius), i – procentų norma, matuojama tais pačiais laiko vienetais, kaip ir trukmė t (i = p%, kur p – normos procentinė išraiška, jei populiacija mažėja, tai p < 0).

Procento sąvoka

Procentas (taip pat jį vadinsime bemačiu arba statistiniu procentu)yra skaičius arba santykis, išreikštas kaip šimtoji kurios nors visumos dalis. Procentas yra grynasis skaičius (bematis, nedimensinis dydis).Procentas gali būti interpretuojamas ir kaip skaičiaus forma, ir kaip skaičiaus dalis.Procentas žymimas naudojant procento simbolį "%" arba santrumpą "proc." [1, 8, 12].

Pavyzdžiui: 35 % („trisdešimt penki procentai“) yra lygūs 35/100 arba 0,35.

Bemačiai procentai tinka kelių trupmeninių dydžių palyginimui, dėl to šie procentai dažnai vartojami statistinėje analizėje. Bemačiai(statistiniai) procentai yra patys paprasčiausi, jų modelyje laikas yra imamas pastovus ir lygus vienetui.Tuo tarpu aukštesnėse pakopose yra augimo procentai – juose laikas gali keistis tam tikrose ribose.

Bemačiai procentai sudaro visos procentų sistemos pagrindą. Be to, kaip buvo minėta, jie yra populiarūs pateikiant statistinius duomenis..

Istorija

Procentai vienokia ar kitokia forma buvo naudojami nuo neatmenamų laikų. Senovės babiloniečiai, nors naudojosi šešiasdešimtaine skaičiavimo sistema, bet turėjo sudarę lenteles palūkanoms skaičiuoti. Indijoje dešimtainė sistema buvo naudojama jau gilioje senovėje, todėl ir procentai buvo žinomi jau nuo V amžiaus. Šiuolaikinių procentų ištakos glūdi Senovės Romoje.Romėnaikai kurių mokesčių nustatymuinaudojo matematinius veiksmus,panašūs į veiksmus su procentais. Oktavianas Augustas buvo įvedęs mokestį Centesima Rerum venalium (nuošimtis nuo parduodamų prekių) – aukcione parduodamos prekės buvo apmokestintos 1/100 dalimi pardavimo kainos. Dabar sakytume, kad mokesčio tarifas buvo lygus vienam procentui (1%) pardavimo kainos. Visa tai vyko dar gerokai prieš dešimtainės pozicinės skaičiavimo sistemos įsigalėjimą Europoje. Oficialipalūkanų atsiradimo istorija prasideda tuo metu, kai senatas turėjo nustatyti didžiausią leistiną iš skolininkų išieškomą procentą. Tai buvo būtina padaryti dėl to, kad nelupikautų kreditoriai.

Ir vėliau daugelį šimtmečių procentai (nuošimčiai) turėjo grynai finansinę prasmę – jie reiškė tik procentinius pinigus (palūkanas). Palūkanos –tai mokestis už naudojimąsi skolintais pinigais. Tai ne bet kokia pinigų suma, o suma, mokama paskolos davėjui už kiekvieną šimtą tam tikram laikui (paprastai metams) skolintų piniginių vienetų (lot. pro centum – nuo šimto; nuošimtis). Palūkanos (procentiniai pinigai arba tiesiog – procentai) – tai pinigai skaičiuojami (mokami) per tam tikrą laiką (tarkim, €/m.). Paskolos davėjui palūkanos bus kapitalo prieaugis per sutartą laiką.

Taigi, panaudojus palūkanas, atsirado augimo aspektas (laiko veiksnys). Buvo suvokta, kad tas prieaugis gali būti ne tik pinigai.Prieaugio skaičiavimo metodas nuo pinigų išsiplėtė bet kokiai populiacijai. Pavyzdžiui medienos prieaugis miško masyve, gyventojų prieaugis regione ir pan.buvo skaičiuojami taip, kaip ir kapitalo prieaugis. Tik čia prieaugio apibudinimui labiau tinkamas ne palūkanų, o procento terminas.

Tolesnę procentų raidą lėmė paskolos. Natūralu, kad skolinantis yra vertinama ne tik suma, bet ir laikas, kuriam ta suma skolinama. Dėl to tapo populiaru sakyti, kad pinigai turi „laiko vertę“ arba, kad „laikas – pinigai“. Kai skolinimosi trukmė yra skirtinga, procentų apskaičiavimui naudojamos specialios formulės, vėliau pavadintos Maltuso modeliais. Tačiau dar Viduramžių ir Naujųjų laikų sandūroje laiko ir vertės veiksniai vėl eliminuojami ir procentai pradedami vartoti kaip dešimtainės trupmenos. Procentų taikymas išsiplečia – išeina už finansinių sandorių rėmų. Taip procentai pasidaro nepriklausomi nuo laiko, t.y. tampa bemačiudydžiu (plačiai naudojamu statistikoje),tampa tiesiog trupmena.

Palūkanos tuo tarpu turi savo matavimą (dimensiją), priklauso nuo laiko ir yra dinaminis dydis. Palūkanos bėgant laikui keičiasi, paprastai didėja, auga. Dėl to auga (keičiasi) ir pati populiacija. To pasėkoje palūkanų formulės yra priskirtinos augimo modeliams. Be to, kaip matėme, šie modeliai taikomi ne tik finansiniuose skaičiavimuose [2;10].

Tokiu būdu vienas pagrindinių veiksnių finansinėje analizėje yra pinigų laiko vertė, o jos svarbiausioji išraiška – procentiniai pinigai (palūkanos). Žinomas aforizmas laikas – pinigai, paplitęs 20 amžiuje, viduramžiais būtų buvęs visiškai nepriimtinas, nes nuo pat biblijinių laikų iki reformacijos atsiradimo Europoje, skolinti pinigus už palūkanas buvo laikoma moraliniu nusižengimu. Mokėti palūkanas įstatymiškai buvo leista Anglijoje XVI a., o Prancūzijoje – tik XVIII amžiuje.

Bankininkystė be palūkanų arba Contractum trinius

Kai kur palūkanos ribojamos iki šių dienų. Pastebėta, kad net šiuolaikinėje Europoje plečiasi islamiškoji bankininkystė.Ji pagrįsta palūkanų atsisakymu ir draudimu investuoti į šariato moralinių nuostatų neatitinkančias sritis: lošimo verslą, alkoholinių gėrimų pramonę, finansines institucijas ir panašiai.

Tokiose valstybėse kaip Iranas, Pakistanas ir Sudanas, visos finansų institucijos veikia pagal šariato principus. Kitose valstybėse –islamo bankai veikia greta tradicinių bankų. O štai Turkijoje, šariato teisė bankų sistemoje apskritai negalioja.

Tačiau ir tų šalių, kur galioja šariato teisė, piliečiams bankų paslaugos, dažnai, būna neišvengiamos. Tam naudojama Contractum trinius sutarčių rinkinys. Kiekviena iš šių sutarčių leistina pagal kanonų teisę, tačiau visos kartu nuo pradinės sumos duoda fiksuoto dydžio pelną. Tarkim žmogus nori pirkti automobilį skolon. Tuomet bankas nuperka tą automobilį ir perparduoda jį klientui už fiksuotą kainą išperkamosios nuomos būdu arba taikydamas nuomos mokestį, kol už daiktą sumokama visą banko nustatytą sumą (į kurią jau yra įskaičiuotos ir palūkanos). Be to automobilį bankas dar ir apdraudžia, o už tai, aišku, sumoka klientas.

Contractum trinius buvo teisėta gudrybė, kurią Europos pirkliai naudojo viduramžiais, kad, nežiūrint Bažnyčios priešinimosi, būtų galima skolinti pinigus už palūkanas. Nedaug pasikeitęs metodas taikomas ir šiais laikais. Tačiau ši gudrybė turi neigiamą aspektą – didina skolinimosi kainą.

Procentų „problema“

Kai kurių autorių nuomone procentas – ne matematinė sąvoka, jis nėra matematikos „atradimas“, tai viso labo tik patogus žymėjimas. Jų nuomone matematikos teorija pilnai apsieina be procentų. Procentai neminimi matematinėse enciklopedijose ir žinynuose. Matematikos teorija procentų nenaudoja ir jų netyrinėja [2]. Suprantama, iš esmės jie čia kalba apiebemačius(statistinius) procentus.

Pagal juos visuomenė procentus naudoja glaustam kiekybinės informacijos pateikimui ir palyginimui. Dėl to jie paplito technikoje, ekonomikoje, statistikoje, biologijoje, chemijoje, farmakologijoje, sociologijoje, psichologijoje ir kitur.

Procentų paplitimas mokyklinėje matematikoje tų pačių autorių nuomone grįstas tradicija ir grynai pragmatiniais sumetimais. Mokyklinių programų sudarytojų dėka procentas iš kuklaus techninio rezultatų palyginimo ir pateikimo būdo pavirto į atskirą savarankišką temą [2].

Kita vertus tie patys autoriai neneigia, jog egzistuoja savarankiška „Finansų matematikos“ šaka, nors kai kurie jų retkarčiais ją kukliai pavadina „Finansų aritmetika“. Kaip bevadintume ir vienu ir kitu atveju šio „nemokslinio“ kurso ištakos slypi procentuose. Svarbu pastebėti, kad bemačių (statistinių) ir augimo procentų tarpusavyje griežtai atskirti negalima.

Kaip ten bebūtų procentų (plačiąja prasme) reikšmė kai kurioms gyvenimo sritims yra nenuginčijama (ekonomika, investavimas, biologija, farmakologija, sociologija ir pan.). Gali būti, kad nepakankamas dėmesys procentams ir nulėmė kai kurių praktiniam gyvenimui svarbiųsričių stagnaciją.

Procentai ar palūkanos?

Terminai procentas ir palūkanos dažnai yra naudojami kaip sinonimai, nors yra ir skirtumų – procentai gali būti tiek pastovūs dydžiai (statiniai), tiek priklausyti nuo laiko, o palūkanos visuomet siejamos su laiku (dinamika). Dėl to palūkanos yra procentų atskirasis atvejis.

Be to procentais ar palūkanomis gali būti vadinami ne tik patys skaičiai (pastovūs ar priklausantys nuo kintančio laiko), bet ir jų skaičiavimo formulės (modeliai). Tos formulės paprastai skaičiuoja populiacijos (ir ne tik finansinės) kitimą bėgant laikui esant tam tikrai (dažnai, pastoviai) augimo normai.

Pradinę palūkanų sąvoką išplėtus, ji įgyja ne tik piniginę, bet ir natūrinę formą. Skolinama gali būti ne tik atitinkama pinigų suma, bet ir kiti aktyvai. Jie galėtų apimti pinigus, plataus vartojimo prekes, stambius objektus, tokius kaip transporto priemonės, pastatai, žemė ir kt.). Tuo atveju palūkanos iš esmės yra nuoma, arba lizingo mokestis skolintojui už turto naudojimą. Brangaus turto (brangių aktyvų) atveju, pavyzdžiui, pastato palūkanos dažniausiai vadinamos "nuomos mokesčiu". Palūkanų dydis, paprastai, priklauso nuo skolininko rizikingumo laipsnio. Kai skolininkas yra mažos rizikos šalis, iš jo, paprastai, bus imamas mažos palūkanos, bet jei skolininkas laikomas aukštos rizikos, jo palūkanos bus didesnės.

Procentų analizė. Bemačiai (statistiniai) procentai

Matome, kad procentai yra ne tik rezultatų lyginimo priemonė, tinkama tik statistiniams stebėjimams interpretuoti, bet ir populiacijos augimo (kitimo) funkcija.Šie abu procentų tipai, nežiūrint jų esminių skirtumų, turi nemažai bendro.Tai matyti nagrinėjant procentų modelių tarpusavio ryšius. Patogu pradėti nuo pačių paprasčiausių procentų modelių [3; 9 ].

Taigi procentas yra skaičius arba santykis, išreikštas kaip šimtoji kurios nors visumos (etalono) dalis. Toksprocentas yra bematis dydis (grynasis skaičius).

Kaip matėme skaičius 1/100 = 0,01, todėl kai kada jį užrašomas ženklu „%“, kuris vadinamas „procentu“. Dėl to galime rašyti:
1×% = % = 1/100 = 0,01.

Kaip matome simbolis „%“ iš esmės yra trupmena, kurios reikšmė lygi 1/100 ir tuo jis išsiskiria iš kitų matematinių simbolių.
Jeigu p – realusis skaičius, tai išraiška p% reiškia sandaugą p ir %.Tokiu būdu turime: ???

Dėl to bet kurį skaičių a galima užrašyti taip: ???

Pavyzdžiui: galima rašyti, kad  ???

Jei skaičius a užrašytas simbolio „%“ pagalba t.y. pavidalu (100 a) %, tai sakoma, kad skaičius a išreikštas procentais. Iš kitos pusės procentais užrašytus skaičius patogu išreikšti dešimtainių trupmenų pavidalu:

1% = 1∙1/100 = 0,01;

179% = 179∙1/100 = 1,79;

100% = 100∙1/100 = 1.

Paskutinė išraiška rodo, kad 100% galima keisti skaičiumi 1, o ir bet kuriuos procentus galima keisti atitinkama dešimtaine trupmena. 100% arba visuma kartais vadinama etalonu.

Taigi, pravartu įsidėmėti, kad:

a = (100∙a)%, kai a = 1, tai 100% = 1, arba 1 = 100%

Tokiu būdu, jei skaičius užrašytas simbolio „%“ pagalba, tai sakome, kad skaičius yra išreikštas procentais. Jei skaičius šitokio simbolio neturi, tai procentų uždavinyje traktuojame jį, kaip dešimtainę trupmeną. Dėl to procentų pakeitimą dešimtaine trupmena (ir atvirkščiai) galima atlikti automatiškai.

Bemačių (statistinių) procentų uždavinių tipai

Bemačių procentų uždaviniai nagrinėja technologinius išeigos, tirpalų koncentracijos, mišinių sudėties, finansinių pokyčių ir kitokius uždavinius.

Statistinius procentų uždavinius patogu spręsti sudarant proporciją, kurioje dalies ir visumos santykis prilyginamas procento (procentinės dalies) ir šimto santykiui: ???

arba, naudojant procento simboliką,  ???.

Praktikoje šią proporcija naudojama pakankamai dažnai.

Uždavinio tipas priklauso nuo to, kuris proporcijos narys yra nežinomas. Kadangi šioje proporcijoje vienas narys yra konkretus skaičius, tai lieka trys dydžiai, iš kurių vienas gali būti nežinomas. Išsprendus proporciją jo atžvilgiu ir gauname tris bemačių (statistinių) procentų tipus: visumos (etalono) radimas, tos visumos dalies radimas, dalies ir jos visumos procentinio santykio radimas.

Sprendžiantbemačių procentų uždavinius dažniausiai šios proporcijos ir naudojamos. Sudėtingesniais atvejais gali šios proporcijos nepakakti ir gali tekti sudaryti lygtis, jų sistemas ar pan.

Dažniausiai pasitaikančių procentų tipų analizė pateikta žemiau.

Būsenos arba sudėties procentai

Paprastai įvairios medžiagos ar reiškiniai turi tam tikrą sudėtį – sudedamųjų dalių visumą. Tai gali būti medžiagos, mišinio, tirpalo, socialinio ar kito reiškinio sudėtis: rūdoje esanti metalo dalis, vandenyje ištirpusių druskų kiekis, rinkimuose dalyvavusių rinkėjų dalis ir t.t.

Pavyzdys. Jūros vandenyje yra 0,6 procento druskų. Kiek kilogramų druskų yra 250 kg vandens?

Sprendimas: Iš pradinės proporcijos išsireiškiama visumos dalis. Tuomet:
dalis = visuma x procentas / 100 > Tokiu būdu: dalis = 250∙0,6/100 = 1,5. Ats.: 1,5 kg.

Pavyzdys. 2,5 litro rūgšties tirpale vandens yra 2,1 litro. Kiek procentų rūgšties yra tirpale?

Sprendimas. Čia reikia sekti, kad tirpalo dalis atitiktų tuos procentus, kuriuos reikia rasti. Iš pradinės proporcijos išsireiškiame procentus: . Kadangi reikia rasti rūgšties procentinę dalį, tai turime žinoti, kiek tirpale yra grynos rūgšties. Remiantis sąlyga turime: 2,5 – 2,1 = 0,4 l. Tuomet gautąją reikšmę įstatę į procentų išraišką, gauname rūgšties koncentraciją: 0,4∙100/2,5 = 16%.Ats.:tirpale yra 16% rūgšties.

Pavyzdys. Iš visų pirmojo kurso studentų, vaikinų yra 75%. Tame kurse mokosi 100 merginų? Kiek studentų mokosi pirmame kurse ?

Sprendimas. Merginų kurse mokosi: 100% – 75% = 25%. Iš pradinės proporcijos išsireiškiame visumą: .Ats.: Pirmame kurse mokosi 400 stud.

Pavyzdys. Kiek grynos acto rūgšties yra 300 g tirpalo, kuriame acto rūgšties masės dalis yra 9 %?

Sprendimas. Čia yra nežinoma dalis. Dėl to: dalis =300∙9/100 = 27 g. Ats.: 27 g. Išeigos arba technologiniai procentai Išeigos procentai dažniausiai skaičiuojami, kai reikia apibrėžti kokio nors technologinio proceso rezultatą.

Pavyzdys. Sodininkas turėjo 200kg obuolių. Kiek kilogramų džiovintų obuolių gali gauti sodininkas, jei žinoma, kad džiovinant obuolius jie netenka 85% savo masės?

Sprendimas. Čia taip pat yra nežinoma dalis. Be to čia svarbu, kad procentai atitiktų tikrąją išeigą. Čia klausimas yra ne kiek neteko masės, bet kiek tos masės liko. Išdžiovinus obuolius, jų masė sudarys tik 15% pradinės obuolių masės. Dėl to:dalis = 200∙15/100 = 30 kg.Ats.:30 kg.

Pavyzdys.Šviežiose grybuose yra 90% (pagal svorį) vandens, o sausuose – 12%. Kiek kg džiovintų grybų bus gauta iš 44 kg šviežių?

Sprendimas. Šviežiuose grybuose grynos masės(grybienos) yra 10%. Dėl to 44 kg šviežių grybų grynos masės turės4,4 kg. Tai ir bus tie 88% grybų masės džiovintuose grybuose. . Taigi išdžiovinus 44kg. šviežių grybų bus gauta 5 kg džiovintų. Ats.: 5kg

Išeigos arba technologiniai procentai

Išeigos procentai dažniausiai skaičiuojami, kai reikia apibrėžti kokio nors technologinio proceso rezultatą.

Pavyzdys. Sodininkas turėjo 200kg obuolių. Kiek kilogramų džiovintų obuolių gali gauti sodininkas, jei žinoma, kad džiovinant obuolius jie netenka 85% savo masės?

Sprendimas. Čia taip pat yra nežinoma dalis. Be to čia svarbu, kad procentai atitiktų tikrąją išeigą. Čia klausimas yra ne kiek neteko masės, bet kiek tos masės liko. Išdžiovinus obuolius, jų masė sudarys tik 15% pradinės obuolių masės. Dėl to:dalis = 200∙15/100 = 30 kg.Ats.:30 kg.

Pavyzdys.Šviežiose grybuose yra 90% (pagal svorį) vandens, o sausuose – 12%. Kiek kg džiovintų grybų bus gauta iš 44 kg šviežių?

Sprendimas. Šviežiuose grybuose grynos masės(grybienos) yra 10%. Dėl to 44 kg šviežių grybų grynos masės turės 4,4 kg. Tai ir bus tie 88% grybų masės džiovintuose grybuose.

Visuma = dalis x 100 /procentas = 4.4 x 100 /88 = 5;

Taigi išdžiovinus 44 kg. šviežių grybų bus gauta 5 kg džiovintų. Ats.: 5kg.

Pokyčio procentai

Pokyčio procentai skaičiuoja populiacijos pasikeitimus skirtingais laiko momentais. Tai populiacijos kiekio pokytis, prekės kainos pasikeitimas ir pan. Čia laiko veiksnys skaičiavimuose nedalyvauja, todėl pokyčio procentas išlieka bematis. Pavyzdys. Parduotuvė prekės kainą padidino 20 %. Todėl ją buvo galima įsigyti už 240 €. Kiek prekė kainavo prieš pabrangimą? Sprendimas. Tarkim pradinė prekės kaina (visuma)yrax €. Čia svarbu, kad procentas atitiktų kainos dalį. Kadangi nauja kaina lygi 240 € ir sudaro 100%+20% = 100(1+0,2)%= 120% = 1,2 pradinės kainos (visumos) x.Tai, remiantis pradine proporcija,turime:  ; €. Uždavinį galima išspręsti ir nesinaudojant proporcija, o sudarius lygtį:  ;  ; x = 200 €. Kai kada pokyčio uždaviniuose tenka rasti dalies ir visumos procentinį santykį. Ir šį kartą iš pradinės proporcijos išsireiškiame procentus. Tuomet . Pavyzdys. Pradinė prekės kaina buvo 200€. Po atpiginimo ji kainavo 170 €. Kiek procentų prekė atpigo? Sprendimas. Čia taip pat reikia sekti, kad dalis atitiktų tuos procentus, kuriuos reikia rasti. Kadangi reikia rasti, kiek procentų prekė atpigo, tai pirmiausia randame kiek eurų prekė atpigo: 200 –170 = 30 €. Tuomet gautąją reikšmę įstatę į procentų išraišką, gauname atpigimo procentą: 30∙100/200 = 15 %.Ats.: atpigo 15%. Sprendžiant pokyčio uždavinius galima apsieiti ir be proporcijos. Pavyzdys. Parduotuvė prekės kainą padidino 25%. Po to ji sumažino naująją kainą tiek procentų, kad prekės kaina liko tokia pati, kaip ir prieš padidinimą. Kiek procentų kaina buvo sumažinta? Sprendimas. Tarkime, kad pradinė kaina buvo x. Nauja kaina po padidinimo – y. Padidintos kainos sumažinimo procentas – i. Tuomet: Iš čia i = 0,2. Ats.: 20 proc. Matome, kad sumažinimo procentas yra mažesnis, negu padidinimo. Tai yra todėl, kad skiriasi perskaičiuojamos visumos (etalono) dydis: didinimo visuma yra mažesnė, nei mažinimo visuma. Atkreiptinas dėmesys yra į tai, kad kai kuriuosebemačių (statistinių) procentų skaičiavimuose naudojama struktūra Dalis = Visuma∙(1 ± i), kuri = p%. Ateityje ši struktūra bussusieta su augimo(dinaminiais) procentais. Tačiau šiuo atvejuaugimo (kitimo) procentai yra bemačiai, o dinaminiuose procentuose procentų dydis yra susietas su laiku ir vadinamas procentų norma (procentinetaksa). Ši struktūra išplaukia iš sudėtinių procentų, kai t = 1: Dalis = Visuma∙ (1 ± i)1. Ši bemačių procentų transformacija susiklostė istoriškai, kai atsirado galimybė palūkanų skaičiavimus išplėsti į statistinių skaičiavimų sritį.

Procentinis pokytis ir diskretusis laiko veiksnys

Pastarasis pavyzdys parodo, kad procentiniai perskaičiavimai gali būti atliekami nuosekliai kelis kartus iš eilės, tai yra gali būti pritaikyti keli perėjimai, sietini su populiacijos dydžio perskaičiavimu. Gali kilti klausimas, ar gautas procentinis dydis liko bematis. Reikia pasakyti, kad, jeigu skaičiavimams bus panaudoti bemačiai procentai, tai ir rezultatas bus bematis. Situacija pasikeis, jei skaičiavimams bus panaudota procentų norma. Ji turi matavimą „1/t“ arba „t-1“. Pavyzdys: prekės kaina buvo padidinta tris kartus: gamintojai padidino 10%, tiekėjai – 6% ir prekybininkai – 4%. Kiek procentų pabrango prekė? Taigi, čia duoti procentai, o ne procentų normos. Be to reikia atkreipti dėmesį į tai, jei visi kainos pakėlimai vyktų vienu metu (tarkim vieno rinkos dalyvio), tai procentus tektų sudėti, t.y. 10 % + 6 % + 4 % = 20 %. Tačiau sąlyga nurodo, kad kainą reguliuoja skirtingi rinkos dalyviai ir, suprantama, skirtingu laiku (tačiau laikas tarp atskirų perėjimų gali būti įvairus (ne tik nykstamai mažas) ir už tai rezultatui įtakos neturi). Todėl kainos pakeitimas kiekvienu perėjimu turi būti atliktas iki galo. Dėl to nauja kaina būtų: (1+0,1)∙(1+0,06)∙(1+0,04) = 1,1∙1,06∙1,04 = 1,21264 = 121,26 %. Kitaip tariant prekė pabrango ne 20 %, kaip būtų buvę ją branginant iš karto, o 21,26 %. Tai atsitiko dėl to, kad kiekvieno perėjimo metu skyrėsi visuma (etalonas), t.y. jis didėjo. Jei kainų pakėlimai būtų vykę tuo pačiu procentu, tarkim 10%, tai būtume galėję pritaikyti sudėtinių procentų taisyklę: (1+0,1)3 = 1,331 = 133,1%. Tačiau ir šį kartą procentų pobūdis nesikeičia, jie išlieka bemačiai. Tokiu būdu matome, kad populiacijos reikšmės perskaičiavimas bemačius(statistinius) procentus priartina prie Malthuso (sudėtinių ar paprastųjų) procentų.Tačiau tas priartėjimas yra tik išorinis – patys procentai ir toliau lieka bemačiai.

Vienas šio tipo atvejis yra išskirtinis, kai tam tikra populiacija tuo pačiu procentu yra didinama ir po to mažinama. Ir tas veiksmaskartojamas daugelį kartų iš eilės.Čia yra svarbus visumos (etalono) teisingas identifikavimas. Kalba eina apie du vienodus nuoseklius (teigiamą ir neigiamą) procento reikšmės pokyčius: pradžioje tam tikra visuma padidinama nurodytu procentu, o po to gautoji (nauja) visuma tuo pačiu procentu sumažinama. Čia laikas yra diskretus, įvykus laiko perėjimui įvyksta ir procento reikšmės pokytis. Jei nebūtų laiko perėjimo, reikėtų sumuoti teigiamą ir neigiamą procentų pokyčius. Kadangi pokyčių absoliutiniai dydžiai yra vienodi, tai realiai joks pokytis neįvyktų. Tačiau šiuo atveju taip nėra – visuma pasikeičia, nes didinimas ir mažinimas vyksta ne tuo pačiu metu. Pavyzdys: 100 € vertės prekės kaina buvo padidinta 10 %, o po to nauja kaina sumažinta 10%. Ar pasikeitė galutinė prekės kaina?

Sprendimas: 100+100 10% = 100+10 =110 (€),po to 110–110∙10% = 110–11 = 99 (€).Galutinė kaina sumažėjo vienu euru.

Jei kaina pirma būtų sumažinta, o po to tiek pat padidinta būtų: 100 – 100 10% = 100 – 10 =90 (€), po to 90 + 90∙10% = 90 + 9 = 99 (€). Ir šį kartą galutinė kaina sumažėtų vienu euru. Bendruoju atveju, jei visumos padidinimas p procentų yra lydimas padidintos visumos sumažinimu tuo pačiu procentu p, tai galutinis rezultatas bus: S∙(1+0,01∙p)∙(1– 0,01∙p) = S∙(1– (0,01∙p)2), čia S – pradinis populiacijos dydis,p – populiacijos pakeitimo (didinimo-mažinimo) procentas. Toks populiacijos pasikeitimas vadinamas poriniu visumos pakeitimu arba poriniu pokyčiu. Matome, kad atlikus porinio populiacijos (visumos) pakeitimo (padidinimo-sumažinimo) operaciją pradinė populiacija (visuma) visuomet sumažėja pradinio procentinio dydžio pakyčio kvadratu. Sumažėjusiai populiacijai vėl galima taikyti porinio pakeitimo operaciją. Dėl to gaunamas naujas sumažėjimas ir taip toliau, kol populiacija praktiškai išnyksta. Populiacijos reikšmių skaičiavimui galima panaudoti formulę: . 2 pav. matome populiacijos dydžio priklausomybę nuo periodinių porinių pokyčių skaičiaus, esant įvairiems pokyčių procentams. Brėžinyje matome akivaizdų populiacijos mažėjimą, kai porinių pokyčių skaičius didėja. Be to populiacijos dydis esmingai priklauso nuo procentų dydžio poriniame pakeitime. Kiekviena porinių perėjimų seka išlaiko pastovų kitimo procentą. Kiekviename perėjime atskirai šis kitimo procentas yra bematis, tačiau imant visumą (analogišką, kaip pateikta 2 pav.) pradinis procentas įgyja procentų normos statusą. Dėl to gautoji visuma priklauso augimo (Maltuso) procentų kategorijai.

2 pav. Populiacijos dydžio priklausomybė nuo porinių pokyčių skaičiaus, esant įvairiems perėjimų procentams. Cikliniai poriniai perėjimai būdingi ir kai kurioms gamtinėms (biologinėms) populiacijoms. Jis paaiškina populiacijos nykimą, kai gimstamumo procentas lygus mirtingumo procentui.

Augimas. Augimo (dinaminiai) procentai

Populiacijos augimas – tai populiacijos dydžio P pasikeitimas keičiantis laikuit: P=P(t). Augimas (kitimas) tai dinaminis procesas, kai vyksmas priklausantis nuo laiko. Augimo modelis – tai konkretų populiacijos augimą apibūdinanti laiko funkcija [11].

Yra išskiriami dviejų tipų augimo modeliai: modeliai turintys ryšį (susieti) su procentine funkcija ir modeliai su procentine funkcija nesusieti. Čia aptariami modeliai, susietais su procentų funkcijomis.

Aptariant statistinius procentus buvo akcentuojama, kad jie paremti bemačių procentų taikymu. Procentų bematiškumas lėmė ir jų santykinį paprastumą. Bendresnis atvejis – Malthuso procentai,operuoja jau ne bemačiu augimo veiksniu, o procentų norma, turinčia matavimą „1/t“ (procentai per metus ar perkitą laiko vienetą).

Priimta laikyti, kad Malthuso procentus reprezentuoja dvi augimo (kitimo laike) taisyklės – tiesinis kitimas, kuris gali būti tapatinamas su aritmetine progresija (paprastieji procentai) ir eksponentinis kitimas, tapatinamas su geometrine progresija (sudėtiniai arba kaupiamieji procentai). Taigi plačiai paplitę paprastieji ir sudėtiniai procentai yra labai svarbios augimo interpretacijos.Sudėtiniai procentai vadinami kaupiamaisiais dėl jiems būdingos savybės prisijungti prieaugį (kaupti palūkanas).

Tokiu būdu kaupiamųjų procentų skiriamasis bruožas yra tai, kad jie parodo populiacijos augimą (kitimą), yra išreikšti pradinės populiacijos ir augimo normos pagalba ir nustatyta tvarka prisijungia ir kaupia prieaugį. Paprastieji procentai apibrėžiami taip pat, kaip ir kaupiamieji, tik jie ankstesniojo periodo prieaugio neprisijungia ir jo nekaupia.Dėl tosudėtiniai(arbakaupiamieji) procentai, pradedant antruoju periodu, investicijas didina pastebimai sparčiau – juk procentai skaičiuojami ne tik nuo ankstesnės (pradinės) investicijų sumos, bet dar ir nuo prie jos pridėtų periodo procentų.

Kaip jau buvo minėta, finansinių populiacijų atveju suma, kuri mokama už naudojimąsi piniginėmis lėšomis (kapitalu ar kitais aktyvais), vadinama palūkanomis, procentiniais pinigais arba tiesiog procentais. Be to procentais arba palūkanomis dažnai vadinama ir pati formulė, t.y. augimo modelis.

Taigi dinaminiai procentai yra tam tikras augimo modelis arba, kitaip tariant, specifinė kaupimo taisyklė. Tačiau galima manyti, kad tokia taisyklė nebūtinai turi būti vienintelė. Matėme, kad augimas aritmetinės progresijos pagrindu yra paprastieji procentai, o augimas geometrinės progresijos pagrindu – sudėtiniai procentai. Nagrinėjant įvairių populiacijų augimo fazę, buvo prieita išvados, kad galima imti ir kitas laiko funkcijas, turinčias savyje pradinės populiacijos ir augimo normos išraiškas. Tokios funkcijos pilnai atitinka paprastiesiems arba kaupiamiesiems procentams keliamus reikalavimus. Tikėtina, kad taip galima elgtis ir kitais atvejais. Patogu imti tokias išraiškas, kurias nesunku transformuoti į paprastųjų ar sudėtinių procentų pavidalus.

Malthuso procentai

Pradžioje ištirkime kaupimo pagal paprastuosius procentus (Simple Interest?) formulę. Prieš užrašydami augimo formulę, pateiksime vartojamų kintamųjų prasmę : P0 – dabartinis (pradinis, etaloninis) populiacijos dydis, Pt – populiacijos dydis laiko momentu t, i – populiacijos augimo norma, matuojama procentaisp per laiko vienetą(i = p%, kur p – normos procentinė išraiška), t – laikas, matuojamas tais pat vienetais, kaip ir laikas augimo normoje. Taisyklė, kuri nurodo, kad po kiekvieno augimo periodo pradinė populiacija padidėja tuo pačiu dydžiu, lygiu nustatytam pradinės populiacijos procentui, vadinama paprastaisiais procentais. Tuomet, pagal paprastųjų procentų taisyklę, už kiekvieną periodą kaskart bus priskaičiuotaP0∙i dydžio suma, o kai populiacija yra kapitalas, taita suma bus vieno periodo palūkanos. Populiacijos dydžio kitimas parodytas lentelėje:

Laikas Populiacijos dydis t = 0 P0 = P0 t = 1 P1 = P0+i∙P0=P0∙(1+i) t = 2 P2 = P1+i∙P0=P0+i∙P0+i∙P0= P0(1+2∙i) ... ... t = n Pn = Pn-1+i∙P0=P0∙(1+(n-1)i+i) = P0∙(1+n∙i)

Remiantis pateiktaisiais samprotavimais (matematine indukcija) gauname per t periodų užaugusios populiacijos dydžio išraišką. Ši išraiška ir yra paprastųjų procentų formulė:

			(1)

Jei ši formulė naudojama finansiniuose skaičiavimuose, tai tuomet ji dar vadinama palūkanų formule. Siaurąja prasme palūkanos yra mokestis už naudojimąsi pasiskolintu kapitalu, o tai reikštų skirtumą tarp priskaičiuotos pagal duotąją formulę reikšmės ir pradinės kapitalo reikšmės. Taigi apie palūkanas čia bus kalbama tiek siaurąja (prieaugis) tiek ir plačiąja (formulė arba modelis) prasme. Analogiškai samprotaujama ir nagrinėjant sudėtinių procentų (Compound Interest?) augimo modelį. Sudėtiniai procentai išsiskiria tuo, kad kiekvieno periodo metu užaugęs prieaugis (procentai) yra prijungiami prie pagrindinės populiacijos atitinkamo periodo gale. Naujojo periodo procentai skaičiuojami jau nuo padidėjusios bazinės sumos, t.y. prieaugis yra pastoviai kaupiamas.

Čia naudojamos tos pačios išraiškos (kintamieji) kaip ir ankstesniajame modelyje. Populiacijos dydžio kitimas parodytas lentelėje:

Laikas Populiacijos dydis t = 0 P0 = P0 t = 1 P1 = P0+i∙P0=P0∙(1+i) t = 2 P2 = P1+i∙P1=P1∙(1+i) = P0∙(1+i)2 ... ... t = n Pn = Pn-1+i∙Pn-1=Pn-1∙(1+i) = P0∙(1+i)n

Remiantis pateiktąja logine seka (grandine) gauname sudėtinių procentų formulę:

			(2)

Kaip jau buvo minėta sudėtiniai procentai yra skaičiuojami nuo ankstesniojo periodo metu sukauptos sumos, prijungiant tą prieaugį prie pagrindinės populiacijos kiekvieno periodo gale. Realiai toks prijungimas gali vykti ir dažniau.

Procentų diferencialinė forma

Išnagrinėtosios procentų išraiškos gali būti išvestos ir kitu, universalesniu būdu. Kaip matėme procentų lygtys yra augimo modeliai (augimo taisyklės). Dėl to augimas gali būti išreikštas kaip to augimo greičio funkcija. Augimo greitis yra procentų funkcijos P išvestinė pagal laiką, t.y.: . Yra priimta, kad augimo greitis gali būti pastovus arba kintamas – dažniausiai proporcingas pačios augančios populiacijos dydžiui. Aptarkime galimus atvejus. Čia svarbu pagrįsti antrąjį augimo atvejį, kad augimo greitis tikrai yra proporcingas ne kokiam nors atsitiktiniam dydžiui, o tos pačios populiacijos reikšmei konkrečiu laiko momentu.

Paprastieji procentai (populiacijos augimo greitis pastovus)

Nagrinėjamas atvejis, kai populiacijos augimo greitis yra pastovus ir lygus pradinės populiacijos metiniams procentams. Pradžioje imama:

dP/dt = m₁, (3)

kur m₁ – koeficientas, rodantis augimo greičio pastovumą.

Atskyrę kintamuosius ir suintegravę gausime:

ƒ dP = m₁ x ƒ dt; P = m₁ x t + C,

kur C – integravimo konstanta.

Laikydami, kad pradiniu laiko momentu, t.y. , kai t = 0, tai P = P0, o ir C = P0, gauname:

.							(4)

Nesunku pastebėti, kad, jei koeficientas m1= P0·i, (kur i –populiacijos augimo norma,(i = p%), o P0 – pradinis populiacijos dydis), tai lygtis (4) virsta paprastųjų procentų formule (1):

.

Tokiu būdu matome, kad, kai populiacijos augimo greiti yra ne tik pastovus, bet ir lygus metinėm palūkanom (imdami t = n), gauname paprastųjų procentų formulę :

.							(1)

Tai rodo, kad paprastieji procentai gali būti išvesti ne tik matematinės indukcijos metodu, bet ir remiantis diferencialine augimo savybe. Kitaip tariant tai rodo aptariamų augimo modelių diferencialinės formos universalumą ir pagrįstumą.

Sudėtiniai procentai

Išnagrinėkime atvejį, kai populiacijosP augimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas pačios populiacijos P dydžiui (proporcingumo koeficientas m).

Šiuo atveju galima sudaryti tokią lygtį:

,		(5)

Atskyrus kintamuosius, atlikus pertvarkymus:

;		 .

Šiuo atveju taip pat įvertinamos pradines sąlygas: kai t = 0, tai P = P0. Tuomet randamaC = ln|P0|. Įstatčius jo reikšmę į paskutiniąją išraišką, turime:

,arba 	(P > P0> 0)	(6)

Dabar augimo greičio pastovumo koeficientą m imamas ne bet koks, o lygus ln(1+i), t.y. m = ln(1+i), kur i – kaip ir anksčiau – populiacijos augimo norma, matuojama procentais per laiko vienetą(i = p%, kur p – normos procentinė išraiška). Tuomet į lygtį (6) įstačiusm reikšmę ir atlikus tolimesnius pertvarkymus būtų:

.			(2)

Tai jau turėta, gerai pažįstama sudėtinių procentų formulė (2). Tai parodo, sudėtinių procentų diferencialinės formos universalumą ir tai, kad ji yra adekvati išraiškai, gautai matematinės indukcijos metodu. Tuo pačiu patvirtinamas aukščiau darytos prielaidos, kad „populiacijos augimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas pačios populiacijos dydžiui“ pagrįstumas.

Iš čia daroma išvadą, jog prielaida, kad populiacijos augimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas pačios populiacijos dydžiui yra pagrįsta ir teisinga. Dar daugiau – prielaidą, kad „populiacijos augimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas pačios populiacijos dydžiui“ galima laikyti esminiu tam tikro tipo populiacijų augimo bruožu.

Ribotas populiacijos augimo greitis. Bendrieji sudėtiniai arba logistiniai procentai

Paprastųjų ir sudėtinių procentų formulės modeliuoja nesibaigiantį augimą. Tačiau realioje tikrovėje yra kitaip – įvairūs organizmai (augalai, gyvūnai, žmonės) augdami neperžengia tam tikros ribos, laikui neribotai kintant kažkada baigiasi ir bet kuris kitas procesas: plėtra, eiga, ar koks nors kitas vyksmas. Realiai ilguoju laikotarpiu begalinis augimas apskritai neegzistuoja. Iš praktikos žinoma, kad kiekvienas augimas anksčiau ar vėliau baigiasi. Štai imkime pavyzdį iš gamtos – tarkime auga pušis, tačiau ji auga ne be galo – niekuomet nepasiekia 200 ar, kad ir 100 m aukštį, retai užauga iki 50 m, o dažniausiai sustoja ties gerokai mažesne riba.Tokių pavyzdžių galima pateikti nesuskaitomą daugybę. Tai verčia manyti, kad nesibaigiančio augimo modeliai yra riboto pritaikomumo. Realybei labiau adekvatus yra augimas iki tam tikros ribos, tai yra augimas neperžengiant nustatyto dydžio. Sprendžiant Malthuso augimo problemą, o ir kitas biologinių populiacijų raidos problemas, dar XIX a pradžioje buvo suprasta, kad augimas galimas tik iki tam tikros ribos. Dėl to buvo sukurti logistinio augimo modeliai [11]. Tačiau augimo procentų pavidalo jie taip ir neįgijo. Klasikiniai augimo procentai, be pradinės augimo visumos, augančios dalies ir laiko turi turėti bene svarbiausią procentų atributą – augimo normą. Tačiau aiškiai išreikšto šito atributo jie neturėjo. Sprendžiant riboto augimo problemą buvo imamas atvejis, kai populiacijos augimas yra ribojamas tos populiacijos potencialios reikšmės Pp. Tuomet populiacijos augimo greitis yra ne tik kiekvienu laiko momentu proporcingas pačios populiacijos dydžiui, bet kartu yra ribojamas dar ir mažėjančio daugiklio (1– P/Pp). Šis atvejis dar vadinamas Ferhulsto (P. F. Verhulst, 1804 – 1849) lygtimi[13]:

,			(7)

Išsprendus šią lygtį (imdami P0> 0 ir P0<P < Pp , be to, kai t = 0, tai P = P0, o taip pat, kai m = ln(1+i)) gaunamasbendrasis sudėtinių procentų atvejis – logistinės palūkanos [4]:

.			(8)

Reikia pastebėti, kad gautųjų procentų (8) riba, kai yra gerai žinomi sudėtiniai procentai (2). Apskaičiuojama riba

Įvertinus tai, kad, kintant (augant) Pp, i ir t yra pastovūs dydžiai, be to jie yra teigiami, randama riba:

Arba, kai t = n, gaunama standartinė sudėtinių procentų išraiška:

.			(2)

Tokiu būdu įsitikinome, kad lygtis (8) yra bendriausias sudėtinių procentų atvejis. Galima žiūrėti ir iš kitos pusės – sudėtinių procentų lygtis (2) yra atskirasis bendrųjų procentų lygties (8) atvejis. Brėžinyje 3 pateikti grafikai kreivių, nubraižytų formulės (8) pagrindu. Matematikai nuo seno tokius grafikus vadina logistinėmis kreivėmis. Taigi gavome logistinių procentų būsimosios vertės priklausomybes nuo laiko, esant įvairioms potencialiojo kapitalo reikšmėms, kai i=0,2 ir P0=1. Brėžinyje viršutinė kreivė vaizduoja sudėtinių procentų grafiką, o tai yra tas pat, kaip ir bendrųjų procentų grafikas, kai potencialioji reikšmė yra begalinė, t.y. kai Pp = ∞. Tai neriboto augimo grafikas. Kiti trys grafikai vaizduoja augimo trajektorijas, kai augimo ribos yra atitinkamai 20, 10 ir 5 vienetai. Paveiksle matome, kad tik pradiniu momentu (tarkim iki 2-3 periodų, t.y. trumpuoju laikotarpiu) grafikai yra artimi. Vėliau grafikai smarkiai išsiskiria ir juos keisti vienas kitu tampa labai netikslu (paklaida viršija dešimtis ir daugiauprocentų).

3 pav. . Bendrųjų sudėtinių procentų būsimosios vertės priklausomybė nuo laiko, esant įvairioms potencialiojo kapitalo reikšmėms, kai i=0,2 ir P0=1 Sudėtinių procentų lygtis (2) turi keturis kintamuosius, tuo tarpu bendrųjų (logistinių) procentų lygtis (8) susieja penkis kintamuosius: P– populiacijos (kapitalo) dydį laiko momentu t, P0 – dabartinį (pradinį) populiacijos (kapitalo) dydį, Pp – potencialiąją populiacijos (kapitalo) reikšmę, i – populiacijos augimo normą, matuojamą procentais per laiko vienetą ir t – laiką, dažniausiai laikomą laisvuoju kintamuoju. Būsimosios vertės augimo greitis per visą augimo laiką nebūna pastovus: pradžioje populiacija auga greitėjančiai, o vėliau, pasiekusi piką, augimas pradeda lėtėti, kol galiausiai, visiškai sustoja (4 pav.). Galima įsitikinti, kad bendrųjų procentų augimo greitis, esant skirtingoms ribinėms populiacijų reikšmėms, turi panašų pobūdį, tačiau žymiai skiriasi savo įgyjamomis reikšmėmis.

4 pav. Bendrųjų sudėtinių procentų būsimosios vertės augimo greitis, esant skirtingoms ribinėms populiacijų reikšmėmsPp, kai i=0,2 ir P0=1 Populiacijų augimo charakteristikos apibudina pačią populiacijos raidą, parodo jos galimybes ateityje. Tai sudaro sąlygas populiacijos augimo prognozavimui. Reikia pridurti, kad tokio tipo kreives mes neretai stebime ir praktikoje.

Bendrieji paprastieji procentai

Bendrųjų paprastųjų procentų modelis sudaromas remiantis bendrųjų sudėtinių procentų modelio struktūra. Bendrųjų sudėtinių procentų modelyje patys sudėtiniai procentaiP0∙(1+i)tyra aiškiai išreikšti. Jie į bendrųjų sudėtinių procentų modelį įeina du kartus (yra modelio skaitiklyje ir vardiklyje). Paliekant bendrųjų procentų modelį vieningos struktūros ir pakeitus sudėtinius procentus paprastaisiais procentais P0∙ (1+i∙t) gauname bendrųjų paprastųjų procentų modelį:

			(9)

Arba, atlikus nežymius pertvarkymus, turėsime:

				(10)

Gautasis modelis turi analogiškas charakteristikas, kaip ir bendrųjų sudėtinių procentų modelis. Be to, kaip ir galima buvo tikėtis, gautųjų procentų (10) riba, kai yra paprastieji procentai (1).

.

5 pav. pateikti bendrųjų sudėtinių ir bendrųjų paprastųjų procentų būsimosios vertės priklausomybės nuo kaupimo periodų skaičiaus grafikai. Charakteringa, kad, esant vienodom sąlygoms, bendrieji sudėtiniai procentai prisotinimą pasiekia daug anksčiau, nei bendrieji paprastieji. Lėtą bendrųjų paprastųjų procentų augimą galima iliustruoti 5 paveiksle pateikto pavyzdžio duomenimis: tą vertę, kurią pasiekia bendrieji sudėtiniai procentai po 30 periodų bendrieji paprastieji procentai pasiekia tik, apytikriai, po 1200 periodų. Tai iškalbingas faktas, rodantis, kad bendrieji paprastieji procentai prisotinimui yra žymiai „atsparesni“. Pažymėtina yra tai, kad bendrieji procentai laiko intervale (0; 1) elgiasi panašiai, kaip ir daliniai (Maltuso) procentai: šiame intervale bendrųjų paprastųjų procentų reikšmės yra didesnės nei bendrųjų sudėtinių procentų, o intervalo galuose tos reikšmės sutampa. Pastarąją savybę nesunku patikrinti į formules (8) ir (9) įstačius pradžioje skaičių 0, o po to skaičių 1.

5 pav. Bendrųjų sudėtinių ir bendrųjų paprastųjų procentų būsimosios vertės priklausomybė nuo laiko (kaupimo periodų skaičiaus), kai i=0,2 ir Pp=20

Bendrųjų paprastųjų procentų skiriamasis bruožas yra tai, kad jų grafikas visiems t>0 yra išlenktas į viršų. Tai rodo procentų išraiškos (10) antroji išvestinė (11).Ji yra neigiama, nes Pp>P0>0; i>0, o tai reiškia, kad ir skirtumas (Pp–P0)>0:

			(11)

Nesunku įsitikinti, kad bendrųjų paprastųjų procentų grafikas turi asimptotę, kurios reikšmė yra Pp. Reikia atkreipti dėmesį į tai, kad bendrųjų sudėtinių procentų grafikas turi persilenkimo tašką, tuo tarpu bendrųjų paprastųjų procentų grafikas tokio taško neturi.

Bendrumas ir atskirumas

Pateiktoji medžiaga rodo, kad procentų modeliai gali būti gaunami įvairiais keliais. Tuo pačiu matome, kad bendrieji augimo procentai, daliniai augimo (Malthuso) procentai ir bemačiai procentai yra tarpusavyje susieti ir sudarovieningą sistemą. Dėl to akivaizdu, kad populiacijos kitimas gali būti modeliuojamas ne tik Malthuso, bet ir bendrųjų(logistinių) procentų pagalba. Šios išvados prieinama pagrindus teiginį, kad Ferhulsto diferencialinė lygtis yra sudėtinių procentų diferencialinės lygties patobulintas variantas. Galima daryti ir priešingą išvadą – sudėtinių procentų diferencialinė lygtis yra Ferhulsto diferencialinės lygties atskirasis atvejis.Tuo pačiu tampa savaime suprantama, kad sudėtiniai procentai yra tik bendrųjų procentų atskirasis atvejis, tai visumos (bendrųjų procentų) sudedamoji dalis. Tą patį galėtume pasakyti ir apie paprastuosius procentus: jie yra bendrųjų paprastųjų procentų atskirasis atvejis.

Nesunku suvokti, kad atskirieji atvejai turi ribotas galimybes, neleidžia tiriamo reiškinio vertinti visapusiškai ir iš esmės.Neįsigilinus į esmę gali pasirodyti, kad bendrojo atvejo egzistavimas nesusietas ar nedaro įtakos atskirajam atvejui ir atvirkščiai. Tačiau dažnai procentai vaidina labai svarbų vaidmenį vertinant kokio nors reiškinio ateities rodiklius. Gali kilti klausimas, kam reikia komplikuoti patogią sudėtinių procentų formulę, jei ji yra paprasta, patogi ir tuo pačiu dažnai duoda pakankamo tikslumo rezultatus? Reikia pasakyti, kad sudėtiniai procentai pakankamą tikslumą užtikrina jeigu neveikia aplinkos prisotinimo veiksnys arba jei rezultatų siekiame trumpuoju laikotarpiu. Kitais atvejais sudėtinių procentų daromos paklaidos darosi esminės. Be to šie modeliai neapčiuopia naujų, labai svarbių dėsnių, pasireiškiančių prisotinamose aplinkose.

Procentų šeima

Iki šiol buvo nagrinėjami tik standartiniai procentai – paprastieji ir sudėtiniai. Tačiau be jų svarbūs yra ir nominalieji bei tolydieji procentai. Populiariausių procentų šeimos lentelė pateikta žemiau (žr. lentelę 1) [6; 9; 11]. Čia pagrindinis dėmesys skiriamas kaupiamųjų procentų modeliams. Tai leidžia geriau suprasti augimo procesus, įsigilinti į augimo modelius, sugretinti ir apibendrinti giminingus procentų atvejus. Be anksčiau aptartųjų procentų, papildomai prijungtas ir Gomperco logistinis modelis. Be to duotos visų modelių procentų normų išraiškas. Pastarosios leidžia geriau suprasti augimo procesų ypatumus, ypač tuo atveju, kai argumentu (nepriklausomu kintamuoju) imamas prisotinimo koeficientas P/P_p, (P0<P <P_p), kintantis intervale (0; 1). Be to čia sugrįžta prie ankstesnio populiacijų žymėjimo ir dėl tofinansines populiacijas žymi ne simboliu P, o simboliu K (kapitalas).

1 lentelė. Populiariausių procentų šeima; daliniai ir bendrieji atvejai, procentų normos

Nr Procentų pavadinimas Daliniai procentai (atskirieji begalinio augimo atvejai) Bendrieji (logistiniai) procentai Procentų norma 1 Paprastieji

2 Sudėtiniai

3 Nomina¬lieji

4 Tolydieji

5 Gomperco logistinė augimo funkcija Gomperco logistinė funkcijabegalinio augimo atvejo neturi

kur K – per t periodų sukaupto produkto (kapitalo) dydis, K0 – pradinis produkto dydis, Kp – potencialioji (ribinė, maksimali) produkto (kapitalo) reikšmė, t – trukmė (periodų skaičius), i, j – augimo (palūkanų) norma, k – perskaičiavimų skaičius per vieną periodą.

Bendrųjų procentų taikymai. Didėjančio produktyvumo paradoksas

Bendrieji procentai atveria naujas galimybes teoretikams, nagrinėjantiems įvairių populiacijų augimą, ypač tyrinėjantiems ekonominius reiškinius.Bendrieji procentai paaiškina kai kurių ekonomikoje egzistuojančių paradoksų pasireiškimo priežastis [6].

Didėjančio produktyvumo (pelningumo) fenomenas, pasireiškia tuo, kad, didėjant rinkos prisotinimui, pelningumas (vidinė grąža) ne mažėja, bet auga. Tai paaiškėja diskontuojant pinigų srautus bendrųjų sudėtinių procentų pagalba. Didėjant prisotinimui augimo greitis spartėja, be to jisspartėja hiperboliškai (6 pav.). Diskontuojant tą patį pinigų srautą sudėtinių procentų pagalba, vidinė grąža nesikeičia, nes ten prisotinimas net neegzistuoja. Grafike pavaizduota projekto (realizuojamo prisotinamoje aplinkoje) vidinės pelno normos priklausomybė nuo rinkos prisotinimo laipsnio (K/Kp), kai projekto pradžioje investuojamas vienas piniginis vienetas (p.v.), pirmųjų metų gale 0,5 p.v. o vėliau, 4 metus iš eilės, kiekvienų jų gale, iš projekto gaunamos pajamos atitinkamai yra 0,5; 0,5; 0,5 ir 1 piniginis vienetas. Tokio pat, tik neprisotinamo projekto grąža (grafike – tiesė), yra pastovi ir lygi 16,32 proc. Diskontavimas atliktas bendrųjų sudėtinių procentų pagalba. Panašus vaizdas gaunamas ir diskontuojant ne tik bendrųjų sudėtinių, bet ir kitų bendrųjų procentų pagalba.

6 pav. Vidinės grąžos normos priklausomybė nuo prisotinimo laipsnio Įprasta laikyti, kad rinkos prisotinimas – tai situacija, kai prekių ar paslaugų pasiūla viršija paklausą. Tačiau bendrųjų procentų požiūriu prisotinimas yra situacija, kai paklausą viršija ne patys produktai ar paslaugos, o investuojamas kapitalas tampa didesnis už kapitalo dydį, reikalingą pagaminti maksimaliam tokių prekių ar paslaugų kiekiui. Kitaip tariant „perkantis kapitalas“ ryškiai viršija „parduodamą vertę“.Dėl to,susiformavuskapitalo pertekliui, rinka tampa prisotinama.

Realiomis sąlygomis rinkos prisotinimas prasideda tada, kai paklausa aplenkia pasiūlą, t. y. kai kapitalo pertekliaus spaudžiama susiformuoja deficitinė rinka. Jei paklausa liks mažesnė už pasiūlą, prisotinimo efektas nepasireikš ir rinkos prisotinti nebus galima. Kai kurių prekių rinkos iš principo yra deficitinės – tai pvz. vienetinių (retų) kolekcionavimo objektų ar aukcionuose realizuojamųretų prekių rinkos.Dažnai patiriančios prisotinimą yra nekilnojamojo turto, paklausių žaliavų, kai kurių kriptovaliutų ir panašiosrinkos. Situacijos paradoksalumas slypi deficitinių rinkų prisotinimo procese. Jei rinka yra deficitinė, tai ji neturėtų būti prisotinta, nes prisotinimas turėtų mažinti deficitą. Rinkos prisotinimas produktais, įprastomis sąlygomis, iššaukia tų produktų kainos mažėjimą. Tačiau šiuo atveju deficitinėje rinkoje egzistuoja kapitalo perteklius. Jis didina paklausą. Paklausa, savo ruožtu, didina pasiūlą (pasiūla seka paklausą). Procesas cikliškai kartojasi. Taip deficitinė rinka palaipsniui prisotinama produktu. Pelningumas auga, bet tuo pačiuformuojasi paslėptoji perprodukcija, atsirandanti ypač dėl perpardavinėtojų ir nemokių rinkos veikėjų dalyvavimo(mat jie formuoja fiktyvią paklausą).

Tokiu būdu kai paklausa rinkoje aplenkia pasiūlą, rinka tampa deficitine, ją galima prisotinti. Didėjant deficitui kainos auga. Kuo didesnis deficitas – tuo didesnis prisotinimas, bet tuo pačiu aukštesnės ir kainos. Taip prisotinamoje rinkoje ima veikti didėjančio pelningumo fenomenas. Kadangi investavimo procesas yra ciklinis, tai šis fenomenas yra pagrindinis veiksnys, sukeliantis ekonominį rezonansą, dažnai vadinamą finansiniu burbulu.

Skolos spąstų fenomenas

Greta didėjančio pelningumo paradokso yra ir kitas panašus reiškinys, kylantis dėl tos pačios priežasties – rinkos prisotinimo. Tai skolos arba kredito spąstų fenomenas (paradoksas). Tuos spąstus nesunku pastebėti modeliuojant. Tuomet augimo procentų modeliuose įstatomos neigiamas pradinės reikšmės.

Skolos spąstų fenomeną galėtume apibrėžti taip: jei investuojama deficitinėje (prisotinamoje) rinkoje, tai skolinto kapitalo (skolos) augimo greitis pralenkia nuosavo kapitalo augimo greitį; be to, šis augimo greičių skirtumas, pradžioje buvęs nežymus, po tam tikro periodų skaičiaus esmingai išauga. Tuo tarpu, jei rinka yra neprisotinta, tai tiek nuosavas, tiek skolintas kapitalas auga identiškai [5].

Šiuos teiginius galima nesunkiai patikrinti. Paėmus sudėtinių procentų formulę (2) ir įstačius į ją pradinio kapitalo reikšmę, tarkim, vieną piniginį vienetą, pastebėsime, kad didinant periodų skaičių sukauptojo kapitalo dydis eksponentiškai didės. Po to įstačius į tą pačią formulę pradinio kapitalo reikšmę, lygią minus vienetui (skolintą vieną piniginį vienetą), matytume, kad kaip ir anksčiau didinant periodų skaičių sukauptojo kapitalo dydis eksponentiškai mažės. Abi kreivės bus simetriškos, tik viena kylanti, kita besileidžianti. Taigi, jei rinkoje nefigūruoja prisotinimas, tai investuojant tiek nuosavą, tiek skolintą kapitalą rezultatai bus analogiški, tik vienas turės teigiamą, o kitas neigiamą ženklus. Tokie patys rezultatai bus ir naudojant bendrųjų procentų formulę (8), tik imant begalinę (pakankamai didelę) potencialiąją populiacijos reikšmę.

Tokiu būdu neprisotintoj rinkoj tiek nuosavo, tiek skolinto kapitalų raida yra vienoda, tik skolinto kapitalo ženklas (kaip ir įprasta) yra neigiamas. Tokiu būdu abiejų šių dydžių suma bet kuriuo laiko momentu išlieka lygi nuliui. Kitaip yra, jei investicijos rinka yra deficitinė (prisotinama).

Analogiškas kapitalo kaupimas logistinio augimo modelio (8) pagalba bus kitos. Čia modeliuojant kapitalo kaupimą reikia įvertinti skolinto kapitalo kaupimo specifiką. Kaip matėme, jei kaupimas modeliuojamas sudėtinių palūkanų modelio pagalba, tai tiek nuosavo, tiek skolinto kapitalo dinamika yra vienoda. Tuo tarpu bendrųjų procentų modelis, tinkantis deficitinėms rinkoms, išryškina skolinto kapitalo specifinį elgesį: skolinto kapitalo dinamika daug spartesnė, nei nuosavo.

<>

9 pav. Investicijos, turinčios neigiamą narį, logistinė dinamika, esant pelno normai 10% ir rinkos prisotinimui 10%

9 pav. parodyta investicijos, turinčios neigiamą narį, augimo dinamika apskaičiuota bendrųjų sudėtinių procentų pagrindu. Investicija sudaryta iš dviejų komponenčių – teigiamo nario arba nuosavo kapitalo, kuris lygus vienam sąlyginiam piniginiam vienetui ir neigiamo nario arba skolos, irgi lygios vienam piniginiam vienetui. Šiuo atveju rinkos prisotinimas lygus 10%. Investicijos palūkanų norma taip pat lygi 10 %. Brėžinio vidurinė kreivė rodo suminį kitimą. Čia stebime, jog tik pačioje pradžioje suminis narys išlieka artimas nuliui, vėliau jis ima mažėti, visą laiką pasilikdamas neigiamu. Taigi, investicija, turinti vienodo dydžio nuosavą ir skolintą kapitalus, nuostolį patiria nuo pat investavimo pradžios. Padidinus rinkos prisotinimą nuostolio laipsnis didėja. Tą patį gauname ir padidinus palūkanų normą.

Remiantis skolos spąstų fenomenu galima teigti, kad skolintą kapitalą investuoti į deficitines rinkas yra neracionalu, nes susiduriama su padidinta rizika.

Šaltiniai

1. Bacaër, N. 2011. A Short History of Mathematical Population Dynamics, Publisher Springer-Verlag London, 160 p.

2. Bennett, J. Briggs, W. (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (6th ed.), Pearson, p. 148

3. Боровских А. Розов Н. (2010) Что такое процент? / Математика в высшем образовании, №8. стр.75-84; Elektroninis išteklius: http://www.unn.ru/math/no/8/_nom8_007_borovskikh.pdf

4. Girdzijauskas S. (2002). Draudimas; kiekybinė finansinė analizė. Kaunas „Naujasis lankas“, 2002; 104 p.

5. Girdzijauskas S., Štreimikienė D. (2014) Darnaus vystymosi fundamentaliosios prielaidos (Fundamental Preconditions of Sustainable Development). Kolektyvinė monografija: „Darnus vystymasis: teorija ir praktika“; Vilniaus universitetas. Elektroninis išteklius:http://www.khf.vu.lt/dokumentai/failai/soctyri/Darnus_Lietuvos_vystymasis_2014.pdf

6. Girdzijauskas S. A. (2015) Darnios ekonominės raidos logistiniai aspektai (Logistical aspects of sustainable economic development). Kolektyvinė monografija: DARNAUS VYSTYMOSI PROBLEMOS IR JŲ SPRENDIMAI LIETUVOJE (SUSTAINABLE DEVELOPMENT ISSUES AND ITS SOLUTIONS IN LITHUANIA). Vilniaus universitetas, Aleksandro Stulginskio universitetas. 51-75 р. Elektroninis išteklius: http://www.khf.vu.lt/dokumentai/failai/soctyri/Monografija_Darnaus_vystymosi_problemos_ir_ju_sprendimai_Lietuvoje.pdf

7. Keynes J. M. (1936) Bendroji užimtumo, palūkanų ir pinigų teorija (The General Theory of Employment, Interest and Money), London: Macmillan.

8. Mialik A., Sakalauskas V., Driaunys K., Girdzijauskas S. (2015). Logistic analysis of economic cycles./ MME. Mathematical Models in Engineering. Volume 1, Issue 2 Pages (83-95), NoP (5-14) ISSN Print 2351-5279; ISSN Online 2424 – 4627; http://www.jve.lt/Vibro/MME-2015-1-2/MME00115120011.pdf

9. Renninger K. A., Nieswandt M., Hidi S. (2015) Interest in Mathematics and Science Learning. Published by: American Educational Research Association. p. 428

10. Tannenbaumas P., Arnoldas R. (1995) Kelionė į šiuolaikinę matematiką. Vilnius: TEV, p. 512.

11. Tsoularis, A. (2001). Analysis of Logistic Growth Models. Research Letters in the Information and Mathematical Sciences, Vol.2, 23-46

12. Valiukėnas V., Žilinskas P. J. Penkiakalbis aiškinamąsis metrologijos terminų žodynas, Vilnius, 2006

13. Verhulst, P. F. (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement In Correspondance mathématique et physique, 10, 113

14. Procentai

Parengė: Stasys Girdzijauskas, 2018-01-31, Vilniaus universiteto Kauno fakultetas.