Kompleksinis skaičius

Straipsnis iš Enciklopedijos Lietuvai ir Pasauliui (ELIP).
Kompleksinis skaičius vaizduojamas kaip koordinačių pradžioje prasidedantis vektorius, kuriuo viršūnės koordinatės yra jo realioji (a, x) bei menamoji (b, y) dalis. Kampas tarp vektoriaus ir x ašies svarbus suprantant tokių skaičių sandaugą.

Kompleksinis skaičius yra dvi komponentes (realiąją ir menamąją) turintis skaičius.

Tokia dviejų realiųjų skaičių pora z:

,

kur a ir brealieji skaičiai, o menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

Nors priimta, kad , tačiau ši išraiška taikoma su išlygomis (žr. menamasis vienetas).

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z). Tokie skaičiai dažnai vaizduojami stačiakampėje koordinačių sistemoje (kompleksinėje plokšumoje), x ašyje atidedant realiąją, y ašyje - menamąją komponentę (kompleksinė plokšuma).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

Kompleksinių skaičių sudėtis yra vektorinė sudėtis (tiesiog atskirai sudedamos realioji bei menamoji dalys).

Atimtis taip pat yra vektorinė atimtis (dalys atskirai atimamos).

,

Skirtingai nuo sudėties bei atimties, kompleksinių skaičių daugybą nėra tiesiog komponenčių sudaugimamas. Daugybą paprasčiau paaiškinti polinėse kompleksinės plokštumos koordinatėse: kampai (nuo x ašies) sudedami, tuo tarpu vektorių ilgiai sudauginami. Pavyzdžiui, daugyba iš i vektorių pasuka stačiu kampu (kampas status, ilgis vienetinis). Daugba iš 1 neturi įtakos nes jo ilgis vienetinis o kampas lygus nulinis. Rezultato kooridinatės gali būti randamamos pagal:

Dalyba paprasčiausiai apibrėžiama kaip radimas tokio skaičiaus, kurį padauginus iš dalmenio, gaunamas daliklis (jei a/b=c tai bc=a). Reikšmė randama pagal formules

  • .
  • .

Kompleksinių skaičių laukas

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

Lauke C mes turime:

  • vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
  • vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
  • atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
  • atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b):

Kompleksinių skaičių plokštuma

Vaizdas:Complex conjugate picture.svg
Du skaičiai kompleksinėje plokštumoje (konjugatas). Trigonometrinės formos kampo ženklas priešingas.

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė forma

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos () dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

,

Čia

,
.

Formulė kai yra vadinama Oilerio formule: .

Šiuo atveju kompleksinis skaičius turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).


Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

dalyba:

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

Šaknies traukimo operacija:

, - egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.

Programavimas

Labiau į matematinius skaičiavimus orientuotos kalbos (FORTRAN, C++ su tinkamomis bibliotekomis) turi kompleksinių skaičių tipą ir palaiko su jais susijusias operacijas. Tačiau daugelis bendros paskirties programavimo kalbų (Java, JavaScript) kompleksinių skaičių tiesiogiai nepalaiko.

Tautosaka

Lietuvoje tarp programavimu užsiimančių fizikų buvo paplitusi frazė „darbas neblogas bet kartkartėm išeina į kompleksinę plokštumą“. Kompleksiniai skaičiai kai kada atsiranda kaip tarpinis rezultatas, tai pat ir uždaviniuose kur tiek pradiniai duomenys, tiek ir apskaičiuoti rezultatai yra realieji skaičiai. Pasinaudoti tokia nekaltai atrodančia formule neretai sunkiau. Frazė nuo tada vartojama bet kokiam darbui, kur esama sunkiai suprantamų ar tik aplinkiniais keliais įmanomų žingsių, apibūdinti.



Sudarytojai, rašytojai ir redaktoriai

Kitur naudojant ar cituojant šį straipsnį, būtina nurodyti jo sumanytojus, sudarytojus, rašytojus ir redaktorius.
  • Vitas Povilaitis – autorius ir redaktorius – 80% (+8592-250=8342 wiki spaudos ženklai).
  • Audrius Meškauskas – autorius ir redaktorius – 23% (+2457-25=2432 wiki spaudos ženklai).